Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона является основой классической механики, дающей понятие о причинах движения. На его основе строится решение многих прикладных задач и задач школьного курса физики. Поэтому важно понимать его суть и уметь применять на практике.

Формулировка второго закона Ньютона

В первоначальной формулировке закона изменение импульса (т е количества движения) считалось пропорциональным силе, заставляющей тело двигаться, и направленным в направлении действия силы.

Математически это можно записать так:

\vec{F} = {d\vec{p} \над \vec{dt}}

Буква д для дельты — изменение, отличие. Он называется дифференциалом, а частное двух дифференциалов, в котором одно значение является переменной (время t), другое — функцией (время p), является производной. То есть это скорость изменения функции.

Рис. 1. Геометрический смысл производной.

Но: \vec{p} = {m\vec{v}}

Тогда уравнение (2) можно переписать следующим образом:

\vec{F} = m{d\vec{v} \над \vec{dt}}

Вторым фактором является определение ускорения. Ускорение – это скорость изменения скорости.

Тогда логарифм второго закона Ньютона примет обычный вид:

\время{F} = м\время{а}

Или, разделив обе части на m:

\vec{a} = {\vec{F} \over \{m}} — ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально приложенной к нему силе и обратно пропорционально его массе. Чем больше масса, тем меньше ускорение, чем больше сила, тем больше ускорение. Этот закон также называют основным законом классической механики.

Здесь F понимается как геометрическая сумма всех сил (т.е внешних), действующих на тело. Другими словами, его результат.

Геометрическая сумма есть сумма векторных величин. Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или параллелограмма. Поэтому для расчета равнодействующих сил необходимы значения модулей сил и углов между силами.

Рис. 2. Найдите равнодействующие силы.

Второй закон справедлив для инерциальных и неинерциальных систем отсчета, для материальных точек и произвольных тел, так как любое тело можно представить совокупностью материальных точек (центр масс тела будет местом приложения силы.

Чтобы распространить второй закон Ньютона на случай неинерциальных систем отсчета, вводится понятие сил инерции, таких как центробежная сила или сила Кориолиса. Математическая формулировка будет выглядеть так: \ m\vec{а}={\vec{F} \ + \vec{F_u}}. Индекс «y» обозначает силы инерции.

Применение основного закона классической динамики

Рассмотрим тело, на которое действуют несколько сил. Допустим, это машина, застрявшая в грязи. Вторая машина пытается его вытащить, зацепив тросом. Таким образом, первая машина стремится изменить свой импульс под действием силы натяжения троса, силы тяги и сил трения. Вот как будет выглядеть формула второго закона Ньютона для первой машины:

м \ vec {a} = {\ vec {T} \ + \ vec {F_ {tr}} + \ vec {F_t}}

Или в скалярной форме:

ma={T — F_{tr} + F_t}

Предположим теперь, что равнодействующая сил (сил трения, сил растяжения и сил растяжения в нити) равна нулю. Тогда машина будет стоять или двигаться плавно и по прямой. Это утверждение можно распространить на случай системы тел: если при взаимодействии частей системы друг с другом внутренние силы равны нулю, а внешние силы компенсируют друг друга или не действуют, то система тела либо покоится, либо покоится, движется равномерно.

Рис. 3. Исаак Ньютон.

Задачи

• На тело действуют две силы. Угол между ними равен 60˚. Найдите его равнодействующую.

Решение первой проблемы

Так как равнодействующая сил равна его геометрии (векторной сумме), то пишем:

\vec{F}={\vec{F_1} \ + \vec{F_2}}

Сумма будет производиться по правилу треугольника. Полученный модуль будет равен длине основания треугольника, построенного по двум векторам силы и углу при вершине 120˚. Найдем длину по теореме косинусов.

F=\квадратный корень{F_1^2 + F_2^2 – 2F_1F_2cos(120)}

F=\квадратный корень{F_1^2 + F_2^2 – 2F_1F_2cos(180-60)}

F=\квадратный корень{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2cos(60)}

F=\sqrt{F_1^2 + F_2^2 – F_1F_2} — окончательный ответ.

• Через блок перекинута веревка. На одном конце закреплен груз. На другом конце висит альпинист той же массы, что и груз. Что произойдет с системой, если альпинист начнет подниматься? Массой струны и трением о шкив пренебречь.

Решение второй проблемы

Запишем второй закон Ньютона для альпиниста и для груза.

ma_1={T_1 – мг}

ma_2={T_2 – мг}

Но Т_1={Т_2}

Потом:

{ма_1} = {ма_2}

Уменьшая массы, получаем, что их ускорения одинаковы. Альпинист и груз будут подниматься с одинаковыми ускорениями и одновременно достигнут блока. Если бы масса альпиниста была меньше массы груза, то груз поднимался бы быстрее.